Indisciplinarité

Notes autour de l’ « Intuitivité » et de l’ « opérativité »

Notes rédigées dans le cadre d’un soutien en mathématiques dispensé à une lycéenne; Ce premier (et dernier?) cours de mathématiques donné m’a rappelé quelques souvenirs du lycée où je ne « voyais » rien (d’ailleurs ce n’est pas comme si j’y portais un quelconque intérêt). J’ai le sentiment de la nécessité d’un « geste » en ce qui concerne l’enseignement des mathématiques. Voici quelques notes qui fixent ce sentiment. À noter que certaines notions (comme le « stratagème allusif ») peuvent faire écho au précédent article sur les systèmes de Jack Burnam. Cela fera sans doute l’objet d’un article un peu plus peaufiné que c’ui-ci.

Notes pour le soutien : Les stratagèmes de Gilles Châtelet.

Gilles Châtelet (1944-1999) était philosophe et mathématicien. Dans le premier chapitre de « L’enchantement du virtuel » il développe quelques principes qui irriguent une réflexion autour de ce qu’il appelle des « stratagèmes allusifs », et cela dans le but de réarticuler l’intuition et l’opération. (Soit la saisie et la formalisation (pour nous application) d’un concept).

Il existe une expérience mathématique et une phase de formalisation des idées ; Cette expérience mathématique qui pré-existe et co-existe à la forme mathématique (des objets mathématiques dont leurs relations sont exprimées avec le langage adéquat), est celle de la compréhension d’un concept qui passe par le geste —le geste ici entendu comme ensemble de processus qui modélisent des idées (diagrammes, mouvement de la main…). En ce sens, le travail du […] géomètre est un travail manuel : Maxwell(*) voulait connaître parfaitement ce « travail-manuel » avant d’étudier les mathématiques ou de se convaincre d’une certaine plasticité de ses objets ».

Les stratagèmes allusifs donnent accès à un espace d’entrelacement de la singularité du diagramme et de la métaphore, pour pénétrer plus avant dans l’intuition physico-[pas nécessaire ici]mathématique et la discipline des gestes qu précèdent et accompagnent la « formalisation ».

La discipline du geste —ou les métaphores scientifiques— comme pratique intuitive est un stratagème allusif. Les dessins géométriques que l’on a fait la semaine dernière pour comprendre des formules (de nature arithmétique), peuvent être vus comme des diagrammes, comme un de ces fameux « stratagèmes allusifs ». Dirichlet(**) disait « Il faut substituer les idées aux calculs ». Cependant,

« Les stratagèmes allusifs ne sont ni des artifices rhétoriques, ni des vérités formelles; ils induisent des expériences de pensée qui esquissent un programme cohérent d’expériences [scientifiques] au sens habituel. Ils fournissent un exemple crucial de pratiques intuitives qui ne prétendent pas délivrer une panoplie d’énoncés formels, mais affirmer résolument la dignité d’un « champ pré-formel » à l’intérieur même des sciences exactes. »

Ils sont utiles pour la saisie d’un concept, mais ce qu’on demande dans un cadre scolaire, c’est de la maitrise des outils (mathématiques, littéraires…), utiles dans un champ effectif, celui des applications et de la résolution de problèmes spécifiques. L’expérience de pensée, nourrie par ses dispositifs de saisie (au sens de « compréhension »), sont salutaires mais ne peuvent remplacer l’aspect formel ou appliqué de la chose. Ils doivent maintenir une relation.

Peut-être par manque de temps, l’instruction des mathématiques au lycée n’intègre pas l’histoire ou la philosophie mathématique ; L’aspect intuitif des choses n’est pas développé (dommage à mon avis). On néglige l’intuitivité pour l’opérativité. L’intérêt n’est porté que pour résoudre des énoncés formels. Pourtant cet espace intuitif ne me semble pas contre-productif. Si sans le diagramme, la métaphore ne serait qu’une fulguration sans lendemain, parce qu’incapable d’opérer, à l’inverse, sans la métaphore, le diagramme ne serait qu’une icône gelée, incapable de sauter par -dessus ses traits gras qui figurent les images d’un savoir déjà acquis.

Il m’apparait d’effet d’insister un peu : il ne s’agit pas de distinguer intuitivité et opérativité, les deux vivent ensemble. Et ici, on va chercher à développer la dimension intuitive dans la perspective qu’elle soit mise en relation avec le travail au lycée. Le contexte historique lui aussi me semble nécessaire pour comprendre le cheminement des idées.

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Je n’ai jamais été assez loin pour bien sentir l’application de l’algèbre à la géométrie. Je n’aimais point cette manière d’opérer sans voir ce qu’on fait ; et il me semblait que résoudre un problème de géométrie par les équations, c’était jouer un air en tournant une manivelle. La première fois que je trouvai par le calcul que le carré d’un binôme était composé du carré de chacune de ses parties et du double produit de l’une par l’autre, malgré la justesse de ma multiplication, je n’en voulus rien croire jusqu’à ce que j’eusse fait la figure. Ce n’était pas que je n’eusse un grand goût pour l’algèbre en n’y considérant que la quantité abstraite ; mais appliquée à l’étendue, je voulais voir l’opération sur les lignes, autrement je n’y comprenais plus rien.1

[Note : Leibnitz à travailler sur la notion de similitude. Il fait référence à la géométrie. À intégrer ?]

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(*) Maxwell était un physicien écossais du 19eme siècle.
(**) Dirichlet était un mathématicien allemand du 19eme siècle (aussi).
1. Jean-Jacques Rousseau, Livre 6. https://fr.wikisource.org/wiki/Les_Confessions_(Rousseau)/Livre_VI